HIT | 集合论与图论 | 课程笔记 | 2021春季

第二章 映射#
映射的合成#
设 M 是一个非空集合, φ:M→M, N⊆M 。令 A={P ∣ P⊆M 且 N⊆P, φ(P)⊆P} , G=P∈A⋂P 。 试证:
G∈A ;
N⋃φ(G)=G 。
证明:
∀x∈G,P∈A ,有 x∈P
所以 ∀x∈G,x∈M ,即 G⊆M
∀x∈N,x∈P ,即 x∈P∈A⋂P=G ,所以 N⊆G
∀x∈G ,有 φ(x)∈P ,即 φ(x)∈P∈A⋂P=G ,所以 φ(G)⊆G
综上 G∈A
先证 N⋃φ(G)⊆G 。
∀x∈N⋃φ(G) , x∈N 或 x∈φ(G)
若 x∈N ,因为 N⊆G ,所以 x∈G 。
若 x∈φ(G) ,因为 φ(G)⊆G ,所以 x∈G 。
所以 N⋃φ(G)⊆G 。
再证 G⊆N⋃φ(G) :
∀x∈G ,
由于 N⊆G ,
若 x∈N , x∈N⋃φ(G)
若 x∈/N , 则 x∈G\N
下证: ∀x∈G\N, φ(x)∈/N 。
假设 φ(x)∈N ,那么 G\x∈A ,与 G=P∈A⋂P 矛盾。
故 ∀x∈G\N, φ(x)∈/N
即 ∀x∈G\N, φ(x)∈G\N
再下证: φ:G\N→G\N 是双射。
假设 φ:G\N→G\N 不是满射,
即 ∃y∈G\N, s.t. φ−1(y)=∅ ,
那么 G\y∈A ,与 G=P∈A⋂P 矛盾。
所以 φ:G\N→G\N 是满射,也是双射。
即 φ(G\N)=G\N
所以 x∈G\N=φ(G\N)⊆φ(G) 。
第三章 关系#
关系的性质#
自反性、反自反性、非自反且非反自反性#
设 R⊆A×A :
∀x∈A , <x,x>∈R ,则称 R 在 A 上是自反的(reflexive),或称 R 具有自反性(reflexivity)。
∀x∈A ,<x,x>∈/R ,则称 R 在 A 上是反自反的(antireflexive),或称 R 具有反自反性(antireflexivity)。
关系图表示#
自反:全都有自环。
反自反:没有自环。
非自反且非反自反:有且仅有部分有自环。