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HIT | 集合论与图论 | 课程笔记 | 2021春季

集合论#

第一章 集合及其运算#

第二章 映射#

函数的一般概念——映射#

抽屉原理#

映射的一般性质#

映射的合成#

例1#

MM 是一个非空集合, φ:MM, NM\varphi : M \rightarrow M ,\ N \subseteq M 。令 𝒜={P  PM𝒜 = \{ P \ | \ P \subseteq MNP, φ(P)P}N \subseteq P , \ \varphi(P) \subseteq P \}G=P𝒜PG= \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} P 。 试证:

  1. G𝒜G \in 𝒜

  2. Nφ(G)=GN \bigcup \varphi (G) = G

证明

  1. xGP𝒜\forall x \in G , P \in 𝒜 ,有 xPx \in P

    所以 xGxM\forall x \in G , x \in M ,即 GMG \subseteq M

    xNxP\forall x \in N ,x \in P ,即 xP𝒜P=Gx \in \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} P = G ,所以 NGN \subseteq G

    xG\forall x \in G ,有 φ(x)P\varphi (x) \in P ,即 φ(x)P𝒜P=G\varphi (x) \in \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} P = G ,所以 φ(G)G\varphi (G) \subseteq G

    综上 G𝒜G \in 𝒜

    • 先证 Nφ(G)GN \bigcup \varphi (G) \subseteq G

      xNφ(G)\forall x \in N \bigcup \varphi (G)xN 或 xφ(G)x \in N \ 或 \ x \in \varphi (G)

      xNx \in N ,因为 NGN \subseteq G ,所以 xGx \in G

      xφ(G)x \in \varphi (G) ,因为 φ(G)G\varphi (G) \subseteq G ,所以 xGx \in G

      所以 Nφ(G)GN \bigcup \varphi (G) \subseteq G

    • 再证 GNφ(G)G \subseteq N \bigcup \varphi (G)

      xG\forall x \in G

      由于 NGN \subseteq G

      xNx \in N , xNφ(G)x \in N \bigcup \varphi (G)

      xNx \notin N , 则 xG\Nx \in G \backslash N

      • 下证: xG\N, φ(x)N\forall x \in G \backslash N, \ \varphi (x) \notin N

        假设 φ(x)N\varphi (x) \in N ,那么 G\x𝒜G \backslash x \in 𝒜 ,与 G=P𝒜PG= \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} P 矛盾。

        xG\N, φ(x)N\forall x \in G \backslash N, \ \varphi (x) \notin N

        xG\N, φ(x)G\N\forall x \in G \backslash N, \ \varphi (x) \in G \backslash N

      • 再下证: φ:G\NG\N\varphi : G \backslash N \rightarrow G \backslash N 是双射。

        假设 φ:G\NG\N\varphi : G \backslash N \rightarrow G \backslash N 不是满射,

        yG\N, s.t. φ1(y)=\exist y \in G \backslash N , \ s.t. \ \varphi ^{-1} (y) = \empty

        那么 G\y𝒜G \backslash y \in 𝒜 ,与 G=P𝒜PG= \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} P 矛盾。

        所以 φ:G\NG\N\varphi : G \backslash N \rightarrow G \backslash N 是满射,也是双射。

        φ(G\N)=G\N\varphi (G \backslash N) = G \backslash N

      所以 xG\N=φ(G\N)φ(G)x \in G \backslash N = \varphi (G \backslash N) \subseteq \varphi (G)

逆映射#

置换#

二元和n元运算#

集合的特征函数#

第三章 关系#

关系的概念#

关系矩阵和关系图#

关系的合成运算#

关系的性质#

自反性、反自反性、非自反且非反自反性#

定义#

RA×AR \sube A \times A :

  • xA\forall x \in A<x,x>R<x, x> \in R ,则称 RRAA 上是自反的(reflexive),或称 RR 具有自反性(reflexivity)。

  • xA\forall x \in A<x,x>R<x, x> \notin R ,则称 RRAA 上是反自反的(antireflexive),或称 RR 具有反自反性(antireflexivity)。

举例#

  • 同姓关系、小于等于关系、包含关系、整除关系是自反关系。

  • 父子关系,小于关系,真包含关系都是反自反关系。

关系图表示#

自反:全都有自环。

反自反:没有自环。

非自反且非反自反:有且仅有部分有自环。

关系的闭包#

对称性、反对称性#

第四章 无穷集合及其基数#

第五章 模糊集合论#

图论#

第六章 图的基本概念#

第七章 树和割集#

第八章 连通度和匹配#

第九章 平面图和图的着色#

第十章 有向图#

请参见#

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作者
Von Brank
发布于
2021-04-29
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0