HIT | 工科数学分析 | 课程笔记 | 2021春季

2021-04-27

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第八章多元函数微分学#

二重极限#

$z=f(x, y)$

$dz = \frac {\partial f} {\partial x} dx + \frac {\partial f} {\partial y} dy$

计算 $\displaystyle\iiint_{\Omega} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} d \Omega$ ，其中 $\Omega$ 是由球面 $x^2 + y^2 + z^2 = z$ 所围。

解：球面化为球坐标得，

$\rho^2 = \rho cos \phi$

积分域:

\end{cases}$$ 原式： $$\begin{aligned} I & = \int _0 ^{2\pi} d \theta \int _0 ^{\pi / 2} d \phi \int _0 ^{\cos \phi} \rho ^3 \sin \phi d \rho \\ & = 2 \pi \int _0 ^{\pi / 2} \sin \phi d \phi \int _0 ^{\cos \phi} \rho ^3 d \rho \\ & = \frac{2 \pi}{4} \int _0 ^{\pi / 2} sin \phi \cos ^4 \phi \\ & = \frac{\pi}{10} \end{aligned}$$ #### 例2 ## 第一型曲线积分 ### 定义 若 $C$ 是空间或平面一有限曲线段， $f(x, y, z)$ $\large($ $f(x, y)$ $\large)$ 是 $C$ 上的一个连续函数，则 $$ 是 $f$ 在 $C$ 上的第一型曲线积分。 ## 第一型曲面积分 ## 黎曼积分的应用 ## 例题 # 索引 ## 名词 ## 符号 ### 运算符 #### 大型运算符 $\sum ， \int ，\iint ，\iiint ，\oint ， ， ，$ $\int _{a} ^{b} x dx$ ### Style, Color, Size, and Font #### Style $\displaystyle\sum_{i=1}^n，\textstyle\sum_{i=1}^n$