【OI考古】图论 | 割点和桥

割点#

对于一个无向图 $G$ ，如果把一个点 $u$ 删除后这个图的极大连通分量数增加了，那么这个点就是这个图的割点（又称割顶）。

模板题：洛谷 P3388 - [模板]割点(割顶)#

题目描述#

给出一个 $n$ 个点， $m$ 条边的无向图，求图的割点。

输入格式#

第一行输入两个正整数 $n,m$ 。

下面 $m$ 行每行输入两个正整数 $x,y$ 表示 $x$ 到 $y$ 有一条边。

输出格式#

第一行输出割点个数。

第二行按照节点编号从小到大输出节点，用空格隔开。

输入输出样例#

输入#

输出#

1
5

说明/提示#

对于全部数据， $1\leq n \le 2\times 10^4$ ， $1\leq m \le 1 \times 10^5$ 。

点的编号均大于 $0$ 小于等于 $n$ 。

tarjan 图不一定联通。

Tarjan 算法求割点#

解决这类连通性相关的图论问题通常都要请出 Tarjan 算法。关于 Tarjan 算法的基本实现思路可以参考这里。

思路#

在无向图中使用 Tarjan 算法遍历图时，若对于某个点 $u$ ，若有dfn[u]=low[u]，说明从 $u$ 向下 DFS 无法回到其祖先节点，这意味着以 $u$ 为根的 DFS 生成子树下的所有节点和 $u$ 的祖先节点之间的路全都经过 $u$ ，若去掉 $u$ 则图将不连通，说明 $u$ 就是割点。

解决方案#

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 100500;
int n, m, cnt = -1, cc;
int head[maxn], dfn[maxn], low[maxn], fa[maxn], sum;
bool ans[maxn];
struct Node
{
	int to, next;
} edge[maxn*2];
void addedge(int u, int v)
{
	++cnt;
	edge[cnt].to = v;
	edge[cnt].next = head[u];
	head[u] = cnt;
}
void tarjan(int u)
{
	int son = 0, root;
	++cc;
	dfn[u] = cc;
	low[u] = cc;
	for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].next)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(fa[u]!=v)
		{
			if(!dfn[v])
			{
				fa[v] = u;
				tarjan(v);
				low[u] = min(low[u], low[v]);
				if(low[v]>=dfn[u])
				{
					ans[u] = true;
					if(fa[u]==u)
					{
						root = u;
						son++;
					}
				}
			}
			else low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
	if(son==1) ans[root] = false;
}
int main()
{
	scanf("%d %d", &n, &m);
	memset(head, -1, sizeof(head));
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		int u, v;
		scanf("%d %d", &u, &v);
		fa[u] = u;
		fa[v] = v;
		addedge(u, v);
		addedge(v, u);
	}
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		if(!dfn[i]) tarjan(i);
	}
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		if(ans[i]) sum++;
	}
	printf("%d\n", sum);
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		if(ans[i]) printf("%d ", i);
	}
	return 0;
}

割点#

模板题： 洛谷 P3388 - [模板]割点(割顶)#