1. 第二章 映射

1.1. 2.3 映射的一般性质

1.1.1. 10.

设 $M$ 是一个非空集合， $\varphi : M \rightarrow M ,\ N \subseteq M$ 。令 $𝒜 = \{ P \ | \ P \subseteq M$ 且 $N \subseteq P , \ \varphi(P) \subseteq P \}$ ， $G= \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} P$ 。 试证：

1. $G \in 𝒜$ ；

2. $N \bigcup \varphi (G) = G$ 。

证明：

1. $\forall x \in G ， P \in 𝒜$ ，有 $x \in P$

   所以 $\forall x \in G ， x \in M$ ，即 $G \subseteq M$

   $\forall x \in N ，x \in P$ ，即 $x \in \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} P = G$ ，所以 $N \subseteq G$

   $\forall x \in G$ ，有 $\varphi (x) \in P$ ，即 $\varphi (x) \in \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} P = G$ ，所以 $\varphi (G) \subseteq G$

   综上 $G \in 𝒜$

2. • 先证 $N \bigcup \varphi (G) \subseteq G$ 。

     $\forall x \in N \bigcup \varphi (G)$ ， $x \in N \ 或 \ x \in \varphi (G)$

     若 $x \in N$ ，因为 $N \subseteq G$ ，所以 $x \in G$ 。

     若 $x \in \varphi (G)$ ，因为 $\varphi (G) \subseteq G$ ，所以 $x \in G$ 。

     所以 $N \bigcup \varphi (G) \subseteq G$ 。

   • 再证 $G \subseteq N \bigcup \varphi (G)$ ：

     $\forall x \in G$ ，

     由于 $N \subseteq G$ ，

     若 $x \in N$ , $x \in N \bigcup \varphi (G)$

     若 $x \notin N$ , 则 $x \in G \backslash N$

     • 下证： $\forall x \in G \backslash N, \ \varphi (x) \notin N$ 。

       假设 $\varphi (x) \in N$ ，那么 $G \backslash x \in 𝒜$ ，与 $G= \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} P$ 矛盾。

       故 $\forall x \in G \backslash N, \ \varphi (x) \notin N$

       即 $\forall x \in G \backslash N, \ \varphi (x) \in G \backslash N$

     • 再下证： $\varphi : G \backslash N \rightarrow G \backslash N$ 是双射。

       假设 $\varphi : G \backslash N \rightarrow G \backslash N$ 不是满射，

       即 $\exist y \in G \backslash N , \ s.t. \ \varphi ^{-1} (y) = \empty$ ，

       那么 $G \backslash y \in 𝒜$ ，与 $G= \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} P$ 矛盾。

       所以 $\varphi : G \backslash N \rightarrow G \backslash N$ 是满射，也是双射。

       即 $\varphi (G \backslash N) = G \backslash N$

     所以 $x \in G \backslash N = \varphi (G \backslash N) \subseteq \varphi (G)$ 。