1. 第九章 平面图及其着色

1.1. 9.1 平面图及其欧拉公式

1.1.1. 5.

证明：不存在 $7$ 条棱的多面体。

证明：

对于一个有 $p$ 个顶点， $q$ 条边， $f$ 个面的平面图，

易证不存在边数大于等于 $4$ 的面，否则对于这样的面，其本身有至少 $4$ 条棱，每个顶点与其他顶点相邻，至少有 $8$ 条棱，与多面体有 $7$ 条棱矛盾，故该多面体所有面边数都是 $3$ ，即 $2q = 3f$ 。

由欧拉公式：

$$p - q + f = 2$$

故 $q = 3p - 6$ 。

代入 $q = 7$ 解得 $p$ 不是整数，故不存在这样的多面体。